{l}{3x+2=4y}{x+y=10} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x+2-4y=0$$

2'ны ике яктан алыгыз. Нульдән теләсә кайсы әйбер алынса, аның тискәре саны булып чыга.

$$3x-4y=-2$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-4y=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$3x=4y-2$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{3}'ны 4y-2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{4y-2}{3} куегыз, x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

\frac{4y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2}{3} өстәгез.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{32}{7}$$

\frac{32}{7}'ны y өчен x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{4}{3}'ны \frac{32}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{2}{3}'ны \frac{128}{21}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{38}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x+2-4y=0$$

2'ны ике яктан алыгыз. Нульдән теләсә кайсы әйбер алынса, аның тискәре саны булып чыга.

$$3x-4y=-2$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x+2-4y=0$$

2'ны ике яктан алыгыз. Нульдән теләсә кайсы әйбер алынса, аның тискәре саны булып чыга.

$$3x-4y=-2$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

3x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x+3y=30'ны 3x-4y=-2'нан алыгыз.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$-4y-3y=-2-30$$

-4y'ны -3y'га өстәгез.

$$-7y=-2-30$$

-2'ны -30'га өстәгез.

$$-7y=-32$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=\frac{32}{7}$$

\frac{32}{7}'ны y өчен x+y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{32}{7} алыгыз.

$$x=\frac{38}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$