{l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$21x+7y=42$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$21x=-7y+42$$

Ике якны 21-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

\frac{1}{21}'ны -7y+42 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{3}+2 куегыз, -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

-5'ны -\frac{y}{3}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

\frac{5y}{3}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{20}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

-\frac{1}{3}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-1+2$$

2'ны -1'га өстәгез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

21x һәм -5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 21'га тапкырлагыз.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -105x+105y=210'ны -105x-35y=-210'нан алыгыз.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

-105x'ны 105x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -105x һәм 105x шартлар кыскартылган.

$$-35y-105y=-210-210$$

-35y'ны -105y'га өстәгез.

$$-140y=-210-210$$

-210'ны -210'га өстәгез.

$$-140y=-420$$

Ике якны -140-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен -5x+5y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-5x+5\times 3=10$$

5'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-5x+15=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-5x=-5$$

Ике якны -5-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=3$$