{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

Алыштыруны һәм квадрат формуласын куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 4,3'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. k x+1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$y=kx+k$$

Башка тигезләмәдә y урынына kx+k куегыз, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k квадратын табыгыз.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4'ны k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2}'ны 4k^{2}x^{2}'га өстәгез.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 3+4k^{2}'ны a'га, 4\times 2kk'ны b'га һәм 4k^{2}-12'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4'ны 3+4k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2}'ны 4k^{2}-12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4}'ны 144+144k^{2}-64k^{4}'га өстәгез.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2'ны 3+4k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} тигезләмәсен чишегез. -8k^{2}'ны 12\sqrt{k^{2}+1}'га өстәгез.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}'ны 6+8k^{2}'га бүлегез.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} тигезләмәсен чишегез. 12\sqrt{k^{2}+1}'ны -8k^{2}'нан алыгыз.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}'ны 6+8k^{2}'га бүлегез.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x өчен ике чишелеш бар: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} һәм -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. Ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, y=kx+k тигезләмәсендә x урынына \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} куегыз.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k'ны \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

Хәзер y=kx+k тигезләмәсендә -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} урынына x куегыз һәм ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, чишегез.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k'ны -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$