x^2-2x-1=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x için çözün

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -2 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4}}{2}$$

4 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{8}}{2}$$

8 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} denklemini çözün. 2\sqrt{2} ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}$$

2+2\sqrt{2} sayısını 2 ile bölün.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} denklemini çözün. 2\sqrt{2} sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}$$

2-2\sqrt{2} sayısını 2 ile bölün.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}-2x=1$$

x teriminin katsayısı olan -2 sayısını 2 değerine bölerek -1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

1 ile 1 sayısını toplayın.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Faktör x^{2}-2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sadeleştirin.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$