r^2+r=12 Denklemini Çözme

$$r ^ { 2 } + r = 12$$

r için çözün

$$r=-4$$

$$r=3$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 12 sayısını çıkarın.

$$r^{2}+r-12=0$$

Denklemi çözmek için r^{2}+r-12 formül r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=4$$

Alınan değerleri kullanarak \left(r+a\right)\left(r+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için r-3=0 ve r+4=0 çözün.

$$r=3 r=-4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 12 sayısını çıkarın.

$$r^{2}+r-12=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın r^{2}+ar+br-12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=4$$

r^{2}+r-12 ifadesini \left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 r çarpanlarına ayırın.

$$r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak r-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için r-3=0 ve r+4=0 çözün.

$$r=3 r=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$r^{2}+r=12$$

Denklemin her iki tarafından 12 çıkarın.

$$r^{2}+r-12=12-12$$

12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$r^{2}+r-12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 1 ve c yerine -12 değerini koyarak çözün.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

1 sayısının karesi.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

-4 ile -12 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2}$$

48 ile 1 sayısını toplayın.

$$r=\frac{-1±\sqrt{49}}{2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$r=\frac{-1±7}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak r=\frac{-1±7}{2} denklemini çözün. 7 ile -1 sayısını toplayın.

$$r=\frac{6}{2}$$

6 sayısını 2 ile bölün.

$$r=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak r=\frac{-1±7}{2} denklemini çözün. 7 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$r=-\frac{8}{2}$$

-8 sayısını 2 ile bölün.

$$r=-4$$

Denklem çözüldü.

$$r=3 r=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$r^{2}+r=12$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$r^{2}+r+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 12 sayısını toplayın.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör r^{2}+r+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$r+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} r+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$r=3 r=-4$$