a^2+(7-a)^2=169 Denklemini Çözme

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

a için çözün

$$a=-5$$

$$a=12$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(7-a\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

a^{2} ve a^{2} terimlerini birleştirerek 2a^{2} sonucunu elde edin.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Her iki taraftan 169 sayısını çıkarın.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

49 sayısından 169 sayısını çıkarıp -120 sonucunu bulun.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$a^{2}-60-7a=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$a^{2}-7a-60=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın a^{2}+aa+ba-60 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-12 b=5$$

a^{2}-7a-60 ifadesini \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 a çarpanlarına ayırın.

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak a-12 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için a-12=0 ve a+5=0 çözün.

$$a=12 a=-5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(7-a\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

a^{2} ve a^{2} terimlerini birleştirerek 2a^{2} sonucunu elde edin.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Her iki taraftan 169 sayısını çıkarın.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

49 sayısından 169 sayısını çıkarıp -120 sonucunu bulun.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2a^{2}-14a-120=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -14 ve c yerine -120 değerini koyarak çözün.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

-14 sayısının karesi.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -120 sayısını çarpın.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

960 ile 196 sayısını toplayın.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

1156 sayısının karekökünü alın.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$a=\frac{14±34}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak a=\frac{14±34}{4} denklemini çözün. 34 ile 14 sayısını toplayın.

$$a=\frac{48}{4}$$

48 sayısını 4 ile bölün.

$$a=12$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak a=\frac{14±34}{4} denklemini çözün. 34 sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$a=-\frac{20}{4}$$

-20 sayısını 4 ile bölün.

$$a=-5$$

Denklem çözüldü.

$$a=12 a=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(7-a\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

a^{2} ve a^{2} terimlerini birleştirerek 2a^{2} sonucunu elde edin.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$2a^{2}-14a=169-49$$

169 sayısından 49 sayısını çıkarıp 120 sonucunu bulun.

$$2a^{2}-14a=120$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

-14 sayısını 2 ile bölün.

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

120 sayısını 2 ile bölün.

$$a^{2}-7a=60$$

x teriminin katsayısı olan -7 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

-\frac{7}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

\frac{49}{4} ile 60 sayısını toplayın.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktör a^{2}-7a+\frac{49}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{2} ekleyin.

$$a=12 a=-5$$