9y^2+75y-54 Denklemini Çözme

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Çarpanlara Ayır

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Çözüm Adımları

3 ortak çarpan parantezine alın.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

3y^{2}+25y-18 ifadesini dikkate alın. İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 3y^{2}+ay+by-18 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -54 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Çözüm, 25 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=27$$

3y^{2}+25y-18 ifadesini \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 y çarpanlarına ayırın.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3y-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Çarpanlarına ayrılan tüm ifadeyi yeniden yazın.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

75 sayısının karesi.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -54 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

1944 ile 5625 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

7569 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{-75±87}{18} denklemini çözün. 87 ile -75 sayısını toplayın.

$$y=\frac{12}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{18} kesrini sadeleştirin.

$$y=\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{-75±87}{18} denklemini çözün. 87 sayısını -75 sayısından çıkarın.

$$y=-\frac{162}{18}$$

-162 sayısını 18 ile bölün.

$$y=-9$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. \frac{2}{3} yerine x_{1}, -9 yerine ise x_{2} koyun.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak y sayısını \frac{2}{3} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

9 ve 3 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 3 ile sadeleştirin.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Hesapla

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$