9x^2-12x+4=0 Denklemini Çözme

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

x için çözün

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=-6$$

9x^{2}-12x+4 ifadesini \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -2 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 3x-2=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{2}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine -12 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

-36 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

-144 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{4}{9} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Faktör x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} ekleyin.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{2}{3}$$