7+4x+5x^2=0 Denklemini Çözme

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 4 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

-20 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

-140 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

-124 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} denklemini çözün. 2i\sqrt{31} ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

-4+2i\sqrt{31} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} denklemini çözün. 2i\sqrt{31} sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

-4-2i\sqrt{31} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

\frac{2}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{5} ile \frac{4}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{5} çıkarın.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$