7x^2-36x+5=0 Denklemini Çözme

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7x^{2}+ax+bx+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 35 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-35 -5,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Çözüm, -36 toplamını veren çifttir.

$$a=-35 b=-1$$

7x^{2}-36x+5 ifadesini \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 7x çarpanlarına ayırın.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve 7x-1=0 çözün.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine -36 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

-36 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

-28 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

-140 ile 1296 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

1156 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

-36 sayısının tersi: 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{36±34}{14} denklemini çözün. 34 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{70}{14}$$

70 sayısını 14 ile bölün.

$$x=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{36±34}{14} denklemini çözün. 34 sayısını 36 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{7}$$

Denklem çözüldü.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$7x^{2}-36x=-5$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{36}{7} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{18}{7} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{18}{7} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

-\frac{18}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{7} ile \frac{324}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

Faktör x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{18}{7} ekleyin.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$