7n^2+39n-18=0 Denklemini Çözme

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

n için çözün

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7n^{2}+an+bn-18 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -126 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Çözüm, 39 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=42$$

7n^{2}+39n-18 ifadesini \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 7n-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 7n-3=0 ve n+6=0 çözün.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine 39 ve c yerine -18 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

39 sayısının karesi.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

-28 ile -18 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

504 ile 1521 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

2025 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{-39±45}{14} denklemini çözün. 45 ile -39 sayısını toplayın.

$$n=\frac{6}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{14} kesrini sadeleştirin.

$$n=\frac{3}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{-39±45}{14} denklemini çözün. 45 sayısını -39 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{84}{14}$$

-84 sayısını 14 ile bölün.

$$n=-6$$

Denklem çözüldü.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Denklemin her iki tarafına 18 ekleyin.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

-18 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

-18 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$7n^{2}+39n=18$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{39}{7} sayısını 2 değerine bölerek \frac{39}{14} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{39}{14} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

\frac{39}{14} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{18}{7} ile \frac{1521}{196} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktör n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Sadeleştirin.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{39}{14} çıkarın.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$