6x^2-x=40 Denklemini Çözme

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 40 sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-40 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -240 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-16 b=15$$

6x^{2}-x-40 ifadesini \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-8=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-x=40$$

Denklemin her iki tarafından 40 çıkarın.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

40 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -1 ve c yerine -40 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

960 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

961 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±31}{12} denklemini çözün. 31 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{32}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{32}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{8}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±31}{12} denklemini çözün. 31 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-x=40$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{40}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

-\frac{1}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{20}{3} ile \frac{1}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{12} ekleyin.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$