6x^2-9x-60=0 Denklemini Çözme

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -40 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=5$$

2x^{2}-3x-20 ifadesini \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -9 ve c yerine -60 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -60 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

1440 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

1521 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±39}{12} denklemini çözün. 39 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{48}{12}$$

48 sayısını 12 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±39}{12} denklemini çözün. 39 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Denklemin her iki tarafına 60 ekleyin.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

-60 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}-9x=60$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-9}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

60 sayısını 6 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} ile 10 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} ekleyin.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$