6x^2=11x+7 Denklemini Çözme

$$6 x ^ { 2 } = 11 x + 7$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 11x sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-11x=7$$

Her iki taraftan 7 sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-11x-7=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-14 b=3$$

6x^{2}-11x-7 ifadesini \left(6x^{2}-14x\right)+\left(3x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-14x\right)+\left(3x-7\right)$$

6x^{2}-14x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(3x-7\right)+3x-7$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-7=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 11x sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-11x=7$$

Her iki taraftan 7 sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-11x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -11 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 6}$$

168 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 6}$$

289 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 6}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{11±17}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{11±17}{12} denklemini çözün. 17 ile 11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{28}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{28}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{7}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{11±17}{12} denklemini çözün. 17 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 11x sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-11x=7$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-11x}{6}=\frac{7}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{11}{6}x=\frac{7}{6}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{11}{6}x+\left(-\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(-\frac{11}{12}\right)^{2}$$

-\frac{11}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{7}{6}+\frac{121}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{6} ile \frac{121}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{289}{144}$$

Faktör x^{2}-\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{289}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{12}=\frac{17}{12} x-\frac{11}{12}=-\frac{17}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{12} ekleyin.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{1}{2}$$