6x^2+37x-13=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-13 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -78 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

Çözüm, 37 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=39$$

6x^{2}+37x-13 ifadesini \left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 13 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve 2x+13=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine 37 ve c yerine -13 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

37 sayısının karesi.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -13 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

312 ile 1369 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

1681 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-37±41}{12} denklemini çözün. 41 ile -37 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-37±41}{12} denklemini çözün. 41 sayısını -37 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{78}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-78}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Denklemin her iki tarafına 13 ekleyin.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

-13 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

-13 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}+37x=13$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{37}{6} sayısını 2 değerine bölerek \frac{37}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{37}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

\frac{37}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{13}{6} ile \frac{1369}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

Faktör x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{37}{12} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$