6x^2+19x-7=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Çözüm, 19 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=21$$

6x^{2}+19x-7 ifadesini \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve 2x+7=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine 19 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19 sayısının karesi.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

168 ile 361 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

529 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-19±23}{12} denklemini çözün. 23 ile -19 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-19±23}{12} denklemini çözün. 23 sayısını -19 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-42}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}+19x=7$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{19}{6} sayısını 2 değerine bölerek \frac{19}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{19}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

\frac{19}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{6} ile \frac{361}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktör x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{19}{12} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$