6x^2+11x-10=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=15$$

6x^{2}+11x-10 ifadesini \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-2=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine 11 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

240 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±19}{12} denklemini çözün. 19 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±19}{12} denklemini çözün. 19 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}+11x=10$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{6} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

\frac{11}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{3} ile \frac{121}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktör x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{12} çıkarın.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$