56x^2-30x+1=0 Denklemini Çözme

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 56x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 56 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Çözüm, -30 toplamını veren çifttir.

$$a=-28 b=-2$$

56x^{2}-30x+1 ifadesini \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 28x çarpanlarına ayırın.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve 28x-1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 56, b yerine -30 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

-30 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

-4 ile 56 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

-224 ile 900 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

676 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

-30 sayısının tersi: 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

2 ile 56 sayısını çarpın.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{30±26}{112} denklemini çözün. 26 ile 30 sayısını toplayın.

$$x=\frac{56}{112}$$

56 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{56}{112} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{30±26}{112} denklemini çözün. 26 sayısını 30 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{112}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{112} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{28}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Her iki tarafı 56 ile bölün.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

56 ile bölme, 56 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{56} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{15}{28} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{15}{56} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{15}{56} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

-\frac{15}{56} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{56} ile \frac{225}{3136} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Faktör x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{15}{56} ekleyin.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$