5x^2+8x-4=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=10$$

5x^{2}+8x-4 ifadesini \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x-2=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 8 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

80 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

144 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±12}{10} denklemini çözün. 12 ile -8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±12}{10} denklemini çözün. 12 sayısını -8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{10}$$

-20 sayısını 10 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

-4 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}+8x=4$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

\frac{4}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{5} ile \frac{16}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{5} çıkarın.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$