5x^2-41x+42 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 5x^{2}+ax+bx+42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 210 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Çözüm, -41 toplamını veren çifttir.

$$a=-35 b=-6$$

5x^{2}-41x+42 ifadesini \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -6 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

-41 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

-20 ile 42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

-840 ile 1681 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

841 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

-41 sayısının tersi: 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{41±29}{10} denklemini çözün. 29 ile 41 sayısını toplayın.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 sayısını 10 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{41±29}{10} denklemini çözün. 29 sayısını 41 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{12}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{6}{5}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. 7 yerine x_{1}, \frac{6}{5} yerine ise x_{2} koyun.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak x sayısını \frac{6}{5} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

5 ve 5 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 5 ile sadeleştirin.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Hesapla

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$