5x^2-12x-7=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -12 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

140 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

284 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} denklemini çözün. 2\sqrt{71} ile 12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

12+2\sqrt{71} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} denklemini çözün. 2\sqrt{71} sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

12-2\sqrt{71} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}-12x=7$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{12}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{6}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{6}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

-\frac{6}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{5} ile \frac{36}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Faktör x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{6}{5} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$