40x-5x^2=60 Denklemini Çözme

$$40x-5 { x }^{ 2 } =60$$

x için çözün

$$x=2$$

$$x=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 60 sayısını çıkarın.

$$40x-5x^{2}-60=0$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$8x-x^{2}-12=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+8x-12=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=-\left(-12\right)=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,12 2,6 3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=6 b=2$$

-x^{2}+8x-12 ifadesini \left(-x^{2}+6x\right)+\left(2x-12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(2x-12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(-x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve -x+2=0 çözün.

$$x=6 x=2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-5x^{2}+40x=60$$

Denklemin her iki tarafından 60 çıkarın.

$$-5x^{2}+40x-60=60-60$$

60 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-5x^{2}+40x-60=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -5, b yerine 40 ve c yerine -60 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-5\right)\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

40 sayısının karesi.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-5\right)\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

-4 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+20\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

20 ile -60 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1200}}{2\left(-5\right)}$$

-1200 ile 1600 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-40±\sqrt{400}}{2\left(-5\right)}$$

400 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-40±20}{2\left(-5\right)}$$

2 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-40±20}{-10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-40±20}{-10} denklemini çözün. 20 ile -40 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{20}{-10}$$

-20 sayısını -10 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-40±20}{-10} denklemini çözün. 20 sayısını -40 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{60}{-10}$$

-60 sayısını -10 ile bölün.

$$x=6$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-5x^{2}+40x=60$$

Her iki tarafı -5 ile bölün.

$$\frac{-5x^{2}+40x}{-5}=\frac{60}{-5}$$

-5 ile bölme, -5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{40}{-5}x=\frac{60}{-5}$$

40 sayısını -5 ile bölün.

$$x^{2}-8x=\frac{60}{-5}$$

60 sayısını -5 ile bölün.

$$x^{2}-8x=-12$$

x teriminin katsayısı olan -8 sayısını 2 değerine bölerek -4 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -4 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

-4 sayısının karesi.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

16 ile -12 sayısını toplayın.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Faktör x^{2}-8x+16. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sadeleştirin.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$x=6 x=2$$