4x-2y=28text{and}x=y+5 Denklemini Çözme

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

x, y için çözün

$$x=9$$

$$y=4$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan y sayısını çıkarın.

$$x-y=5$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$4x-2y=28$$

Denklemin her iki tarafına 2y ekleyin.

$$4x=2y+28$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

\frac{1}{4} ile 28+2y sayısını çarpın.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Diğer x-y=5 denkleminde, x yerine \frac{y}{2}+7 koyun.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

-y ile \frac{y}{2} sayısını toplayın.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Her iki tarafı -2 ile çarpın.

$$y=4$$

x=\frac{1}{2}y+7 içinde y yerine 4 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

\frac{1}{2} ile 4 sayısını çarpın.

$$x=2+7$$

2 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=9$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=9,y=4$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan y sayısını çıkarın.

$$x-y=5$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=9,y=4$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan y sayısını çıkarın.

$$x-y=5$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

4x ve x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 1 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 4 ile çarpın.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Sadeleştirin.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 4x-4y=20 denklemini 4x-2y=28 denkleminden çıkarın.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

-4x ile 4x sayısını toplayın. 4x ve -4x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-2y+4y=28-20$$

4y ile -2y sayısını toplayın.

$$2y=28-20$$

-20 ile 28 sayısını toplayın.

$$2y=8$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$y=4$$

x-y=5 içinde y yerine 4 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x-4=5$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$x=9$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=9,y=4$$