4x^2-8x-5=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=2$$

4x^{2}-8x-5 ifadesini \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

4x^{2}-10x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -8 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

80 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{8±12}{8} denklemini çözün. 12 ile 8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{20}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{8±12}{8} denklemini çözün. 12 sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Denklemin her iki tarafına 5 ekleyin.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

-5 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-8x=5$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

-8 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -2 sayısını 2 değerine bölerek -1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

1 ile \frac{5}{4} sayısını toplayın.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Faktör x^{2}-2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$