4x^2-5x-1=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -5 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

16 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} denklemini çözün. \sqrt{41} ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} denklemini çözün. \sqrt{41} sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-5x=1$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{4} ile \frac{25}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{8} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$