4x^2-25=(2x-5)(7x+3) Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

x için çözün

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

2x-5 ile 7x+3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Her iki taraftan 14x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

4x^{2} ve -14x^{2} terimlerini birleştirerek -10x^{2} sonucunu elde edin.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Her iki tarafa 29x ekleyin.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Her iki tarafa 15 ekleyin.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

-25 ve 15 sayılarını toplayarak -10 sonucunu bulun.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -10x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 100 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Çözüm, 29 toplamını veren çifttir.

$$a=25 b=4$$

-10x^{2}+29x-10 ifadesini \left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 -5x çarpanlarına ayırın.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve -5x+2=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

2x-5 ile 7x+3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Her iki taraftan 14x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

4x^{2} ve -14x^{2} terimlerini birleştirerek -10x^{2} sonucunu elde edin.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Her iki tarafa 29x ekleyin.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Her iki tarafa 15 ekleyin.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

-25 ve 15 sayılarını toplayarak -10 sonucunu bulun.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -10, b yerine 29 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

29 sayısının karesi.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

-4 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

40 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

-400 ile 841 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

441 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

2 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-29±21}{-20} denklemini çözün. 21 ile -29 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{-20} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-29±21}{-20} denklemini çözün. 21 sayısını -29 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-50}{-20} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

2x-5 ile 7x+3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Her iki taraftan 14x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

4x^{2} ve -14x^{2} terimlerini birleştirerek -10x^{2} sonucunu elde edin.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Her iki tarafa 29x ekleyin.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Her iki tarafa 25 ekleyin.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

-15 ve 25 sayılarını toplayarak 10 sonucunu bulun.

$$-10x^{2}+29x=10$$

Her iki tarafı -10 ile bölün.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

-10 ile bölme, -10 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

29 sayısını -10 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

10 sayısını -10 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{29}{10} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{29}{20} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{29}{20} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

-\frac{29}{20} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

\frac{841}{400} ile -1 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

Faktör x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{29}{20} ekleyin.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$