4x^2+2x+1=21 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 21 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

1 sayısından 21 sayısını çıkarıp -20 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=5$$

2x^{2}+x-10 ifadesini \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Denklemin her iki tarafından 21 çıkarın.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

21 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

21 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 2 ve c yerine -20 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

320 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±18}{8} denklemini çözün. 18 ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{8}$$

16 sayısını 8 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±18}{8} denklemini çözün. 18 sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-20}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

1 sayısını 21 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+2x=20$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

20 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

\frac{1}{16} ile 5 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{4} çıkarın.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$