39x^2+14x-9=0 Denklemini Çözme

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 39x^{2}+ax+bx-9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -351 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Çözüm, 14 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=27$$

39x^{2}+14x-9 ifadesini \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 13x çarpanlarına ayırın.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve 13x+9=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 39, b yerine 14 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

-4 ile 39 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

-156 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

1404 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

1600 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

2 ile 39 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±40}{78} denklemini çözün. 40 ile -14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{26}{78}$$

26 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{26}{78} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±40}{78} denklemini çözün. 40 sayısını -14 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{54}{78}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-54}{78} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$39x^{2}+14x=9$$

Her iki tarafı 39 ile bölün.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

39 ile bölme, 39 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{9}{39} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{14}{39} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{39} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{39} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

\frac{7}{39} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{13} ile \frac{49}{1521} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Faktör x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{39} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$