3x^2+4x+1=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=1 b=3$$

3x^{2}+4x+1 ifadesini \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

3x^{2}+x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+1=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 4 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

-12 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2}{6} denklemini çözün. 2 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2}{6} denklemini çözün. 2 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{3} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{3} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$