3n^2-n-420 Denklemini Çözme

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 3n^{2}+an+bn-420 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -1260 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-36 b=35$$

3n^{2}-n-420 ifadesini \left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 35 3n çarpanlarına ayırın.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-12 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$3n^{2}-n-420=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -420 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

5040 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

5041 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{1±71}{6} denklemini çözün. 71 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{72}{6}$$

72 sayısını 6 ile bölün.

$$n=12$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{1±71}{6} denklemini çözün. 71 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{70}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-70}{6} kesrini sadeleştirin.

$$n=-\frac{35}{3}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. 12 yerine x_{1}, -\frac{35}{3} yerine ise x_{2} koyun.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{35}{3} ile n sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

3 ve 3 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 3 ile sadeleştirin.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Hesapla

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$