3n^2+3n+1=1141 Denklemini Çözme

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

n için çözün

$$n=-20$$

$$n=19$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 1141 sayısını çıkarın.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1 sayısından 1141 sayısını çıkarıp -1140 sonucunu bulun.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$n^{2}+n-380=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın n^{2}+an+bn-380 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -380 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 ifadesini \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 20 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-19 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-19=0 ve n+20=0 çözün.

$$n=19 n=-20$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Denklemin her iki tarafından 1141 çıkarın.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

1141 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1141 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 3 ve c yerine -1140 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 sayısının karesi.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -1140 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

13680 ile 9 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{-3±117}{6} denklemini çözün. 117 ile -3 sayısını toplayın.

$$n=\frac{114}{6}$$

114 sayısını 6 ile bölün.

$$n=19$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{-3±117}{6} denklemini çözün. 117 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{120}{6}$$

-120 sayısını 6 ile bölün.

$$n=-20$$

Denklem çözüldü.

$$n=19 n=-20$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1 sayısını 1141 sayısından çıkarın.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 sayısını 3 ile bölün.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

1140 sayısını 3 ile bölün.

$$n^{2}+n=380$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 380 sayısını toplayın.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktör n^{2}+n+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$n=19 n=-20$$