25y^2-54y-63=0 Denklemini Çözme

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

y için çözün

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 25y^{2}+ay+by-63 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -1575 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Çözüm, -54 toplamını veren çifttir.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63 ifadesini \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 21 25y çarpanlarına ayırın.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak y-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-3=0 ve 25y+21=0 çözün.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 25, b yerine -54 ve c yerine -63 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-54 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100 ile -63 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

6300 ile 2916 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 sayısının tersi: 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{54±96}{50} denklemini çözün. 96 ile 54 sayısını toplayın.

$$y=\frac{150}{50}$$

150 sayısını 50 ile bölün.

$$y=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{54±96}{50} denklemini çözün. 96 sayısını 54 sayısından çıkarın.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-42}{50} kesrini sadeleştirin.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Denklem çözüldü.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Denklemin her iki tarafına 63 ekleyin.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

-63 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$25y^{2}-54y=63$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{54}{25} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{27}{25} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{27}{25} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

-\frac{27}{25} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{63}{25} ile \frac{729}{625} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Faktör y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{27}{25} ekleyin.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$