25x^2-10x-x^2-25=0 Denklemini Çözme

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

25x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 24x^{2} sonucunu elde edin.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 24x^{2}+ax+bx-25 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -600 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Çözüm, -10 toplamını veren çifttir.

$$a=-30 b=20$$

24x^{2}-10x-25 ifadesini \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 6x çarpanlarına ayırın.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-5=0 ve 6x+5=0 çözün.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

25x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 24x^{2} sonucunu elde edin.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 24, b yerine -10 ve c yerine -25 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-4 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-96 ile -25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

2400 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

2500 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

-10 sayısının tersi: 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

2 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{10±50}{48} denklemini çözün. 50 ile 10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{60}{48}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{60}{48} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{10±50}{48} denklemini çözün. 50 sayısını 10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{48}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-40}{48} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

25x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 24x^{2} sonucunu elde edin.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Her iki tarafa 25 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$24x^{2}-10x=25$$

Her iki tarafı 24 ile bölün.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

24 ile bölme, 24 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{12} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

-\frac{5}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{25}{24} ile \frac{25}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{24} ekleyin.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$