25x^2+30x+9=0 Denklemini Çözme

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 25x^{2}+ax+bx+9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 225 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Çözüm, 30 toplamını veren çifttir.

$$a=15 b=15$$

25x^{2}+30x+9 ifadesini \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 5x+3=0 ifadesini çözün.

$$x=-\frac{3}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 25, b yerine 30 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

30 sayısının karesi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

-100 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

-900 ile 900 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{30}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{25} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{6}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

\frac{3}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{25} ile \frac{9}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Faktör x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{5} çıkarın.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=-\frac{3}{5}$$