23x^2+11x+9=0 Denklemini Çözme

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 23, b yerine 11 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

-4 ile 23 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

-92 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

-828 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

-707 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

2 ile 23 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} denklemini çözün. i\sqrt{707} ile -11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} denklemini çözün. i\sqrt{707} sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Her iki tarafı 23 ile bölün.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

23 ile bölme, 23 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{23} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{46} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{46} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

\frac{11}{46} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{23} ile \frac{121}{2116} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Faktör x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{46} çıkarın.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$