2x-5=sqrt{x^2-7} Denklemini Çözme

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

x için çözün

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

\left(2x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x^{2}-7} kuvvetini hesaplayarak x^{2}-7 sonucunu bulun.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Her iki tarafa 7 ekleyin.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

25 ve 7 sayılarını toplayarak 32 sonucunu bulun.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+32 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 96 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

Çözüm, -20 toplamını veren çifttir.

$$a=-12 b=-8$$

3x^{2}-20x+32 ifadesini \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -8 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve 3x-8=0 çözün.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

2x-5=\sqrt{x^{2}-7} denkleminde x yerine 4 ifadesini koyun.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Sadeleştirin. x=4 değeri denklemi karşılıyor.

$$3=3$$

2x-5=\sqrt{x^{2}-7} denkleminde x yerine \frac{8}{3} ifadesini koyun.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Sadeleştirin. x=\frac{8}{3} değeri denklemi karşılıyor.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Tüm 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} çözümlerini listeleyin.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$