2x^2-19x-10=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Çözüm, -19 toplamını veren çifttir.

$$a=-20 b=1$$

2x^{2}-19x-10 ifadesini \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

2x^{2}-20x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -19 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-19 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

80 ile 361 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

-19 sayısının tersi: 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{19±21}{4} denklemini çözün. 21 ile 19 sayısını toplayın.

$$x=\frac{40}{4}$$

40 sayısını 4 ile bölün.

$$x=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{19±21}{4} denklemini çözün. 21 sayısını 19 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-19x=10$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

10 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{19}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{19}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{19}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

-\frac{19}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

\frac{361}{16} ile 5 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{19}{4} ekleyin.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$