2x^2-15x=-7 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 7 ekleyin.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 14 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-14 -2,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Çözüm, -15 toplamını veren çifttir.

$$a=-14 b=-1$$

2x^{2}-15x+7 ifadesini \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve 2x-1=0 çözün.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -15 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-15 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

-56 ile 225 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

-15 sayısının tersi: 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{15±13}{4} denklemini çözün. 13 ile 15 sayısını toplayın.

$$x=\frac{28}{4}$$

28 sayısını 4 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{15±13}{4} denklemini çözün. 13 sayısını 15 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{15}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{15}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{15}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

-\frac{15}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{2} ile \frac{225}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{15}{4} ekleyin.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$