2x^2-5x-7=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -5x-7=0$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -14 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-14 2,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=2$$

2x^{2}-5x-7 ifadesini \left(2x^{2}-7x\right)+\left(2x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(2x-7\right)$$

2x^{2}-7x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-7\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-7=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-5x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -5 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

56 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2\times 2}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±9}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±9}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±9}{4} denklemini çözün. 9 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{7}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±9}{4} denklemini çözün. 9 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-5x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$2x^{2}-5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-5x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-5x=7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{7}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{2} ile \frac{25}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} ekleyin.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$