2x^2-5x+1=4 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -5x+1=4$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 4 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

1 sayısından 4 sayısını çıkarıp -3 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -6 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-6 2,-3$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=1$$

2x^{2}-5x-3 ifadesini \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

2x^{2}-6x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

Dağılma özelliği kullanarak x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-3=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$2x^{2}-5x+1-4=4-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

4 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -5 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

24 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±7}{4} denklemini çözün. 7 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 sayısını 4 ile bölün.

$$x=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±7}{4} denklemini çözün. 7 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$2x^{2}-5x+1-1=4-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-5x=4-1$$

1 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-5x=3$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{2} ile \frac{25}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} ekleyin.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$