2x^2+9x+9=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 18 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,18 2,9 3,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Çözüm, 9 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=6$$

2x^{2}+9x+9 ifadesini \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x+3=0 ve x+3=0 çözün.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 9 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

-8 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

-72 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±3}{4} denklemini çözün. 3 ile -9 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±3}{4} denklemini çözün. 3 sayısını -9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-3$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+9x=-9$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{9}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{9}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{9}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{2} ile \frac{81}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{9}{4} çıkarın.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$