16x^2+8x-3=0 Denklemini Çözme

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 16x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -48 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=12$$

16x^{2}+8x-3 ifadesini \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-1=0 ve 4x+3=0 çözün.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 16, b yerine 8 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-4 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-64 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

192 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

2 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±16}{32} denklemini çözün. 16 ile -8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{32}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±16}{32} denklemini çözün. 16 sayısını -8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{32}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-24}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$16x^{2}+8x=3$$

Her iki tarafı 16 ile bölün.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

16 ile bölme, 16 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{16} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{4} çıkarın.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$