15y^2+8y+1=0 Denklemini Çözme

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

y için çözün

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 15y^{2}+ay+by+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,15 3,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+15=16 3+5=8$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=5$$

15y^{2}+8y+1 ifadesini \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

15y^{2}+3y ifadesini 3y ortak çarpan parantezine alın.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Dağılma özelliği kullanarak 5y+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5y+1=0 ve 3y+1=0 çözün.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 15, b yerine 8 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

8 sayısının karesi.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

-60 ile 64 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{-8±2}{30} denklemini çözün. 2 ile -8 sayısını toplayın.

$$y=-\frac{6}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{30} kesrini sadeleştirin.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{-8±2}{30} denklemini çözün. 2 sayısını -8 sayısından çıkarın.

$$y=-\frac{10}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{30} kesrini sadeleştirin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Her iki tarafı 15 ile bölün.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

15 ile bölme, 15 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{15} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{15} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{15} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

\frac{4}{15} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{15} ile \frac{16}{225} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Faktör y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Sadeleştirin.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{15} çıkarın.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$