15p^2+7p-2 Denklemini Çözme

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 15p^{2}+ap+bp-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=10$$

15p^{2}+7p-2 ifadesini \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 3p çarpanlarına ayırın.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5p-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

7 sayısının karesi.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

-60 ile -2 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

120 ile 49 sayısını toplayın.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak p=\frac{-7±13}{30} denklemini çözün. 13 ile -7 sayısını toplayın.

$$p=\frac{6}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{30} kesrini sadeleştirin.

$$p=\frac{1}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak p=\frac{-7±13}{30} denklemini çözün. 13 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$p=-\frac{20}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-20}{30} kesrini sadeleştirin.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. \frac{1}{5} yerine x_{1}, -\frac{2}{3} yerine ise x_{2} koyun.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak p sayısını \frac{1}{5} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{3} ile p sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{5p-1}{5} ile \frac{3p+2}{3} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

5 ile 3 sayısını çarpın.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

15 ve 15 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 15 ile sadeleştirin.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Hesapla

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$