12x^2+17x-7=0 Denklemini Çözme

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -84 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Çözüm, 17 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=21$$

12x^{2}+17x-7 ifadesini \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve 4x+7=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 12, b yerine 17 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

17 sayısının karesi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-48 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

336 ile 289 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

625 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±25}{24} denklemini çözün. 25 ile -17 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±25}{24} denklemini çözün. 25 sayısını -17 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-42}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$12x^{2}+17x=7$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{17}{12} sayısını 2 değerine bölerek \frac{17}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{17}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

\frac{17}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{12} ile \frac{289}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktör x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{17}{24} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$