-14x^2+x+4=0 Denklemini Çözme

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -14x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -56 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=8 b=-7$$

-14x^{2}+x+4 ifadesini \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

-14x^{2}+8x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Dağılma özelliği kullanarak -7x+4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -7x+4=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -14, b yerine 1 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

-4 ile -14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

56 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

224 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

2 ile -14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±15}{-28} denklemini çözün. 15 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{14}{-28}$$

14 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{14}{-28} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±15}{-28} denklemini çözün. 15 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-16}{-28} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{7}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Her iki tarafı -14 ile bölün.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

-14 ile bölme, -14 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

1 sayısını -14 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{-14} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{14} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{28} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{28} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

-\frac{1}{28} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{7} ile \frac{1}{784} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{28} ekleyin.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$