(2x-3)(x+1)-(x-2)<0 Denklemini Çözme

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

x için çöz

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

2x-3 ile x+1 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

x-2 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

-x ve -x terimlerini birleştirerek -2x sonucunu elde edin.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

-3 ve 2 sayılarını toplayarak -1 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 2, b için -2 ve c için -1 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} denklemini çözün.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Çarpımın negatif olması için x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} ve x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} değerlerinin ters işaretli olması gerekir. x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} değerinin pozitif ve x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} değerinin pozitif ve x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$