(x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6] Denklemini Çözme

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

x için çözün

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 sayısının karesi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} üssünü genişlet.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 sayısının 3 kuvvetini hesaplayarak 9 sonucunu bulun.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x^{2} ve 9x^{2} terimlerini birleştirerek 10x^{2} sonucunu elde edin.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 sayısından 64 sayısını çıkarıp -55 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 ve 1 sayılarını toplayarak -54 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x sayısını x+3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 sayısını x^{2}+3x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Her iki taraftan 9x sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

6x ve -9x terimlerini birleştirerek -3x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Her iki taraftan 18 sayısını çıkarın.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-54 sayısından 18 sayısını çıkarıp -72 sonucunu bulun.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7x^{2}+ax+bx-72 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -504 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-24 b=21$$

7x^{2}-3x-72 ifadesini \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 7x-24 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 7x-24=0 ve x+3=0 çözün.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 sayısının karesi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} üssünü genişlet.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 sayısının 3 kuvvetini hesaplayarak 9 sonucunu bulun.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x^{2} ve 9x^{2} terimlerini birleştirerek 10x^{2} sonucunu elde edin.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 sayısından 64 sayısını çıkarıp -55 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 ve 1 sayılarını toplayarak -54 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x sayısını x+3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 sayısını x^{2}+3x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Her iki taraftan 9x sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

6x ve -9x terimlerini birleştirerek -3x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Her iki taraftan 18 sayısını çıkarın.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-54 sayısından 18 sayısını çıkarıp -72 sonucunu bulun.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine -3 ve c yerine -72 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-28 ile -72 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

2016 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

2025 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±45}{14} denklemini çözün. 45 ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{48}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{48}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{24}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±45}{14} denklemini çözün. 45 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 sayısını 14 ile bölün.

$$x=-3$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 sayısının karesi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} üssünü genişlet.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 sayısının 3 kuvvetini hesaplayarak 9 sonucunu bulun.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x^{2} ve 9x^{2} terimlerini birleştirerek 10x^{2} sonucunu elde edin.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 sayısından 64 sayısını çıkarıp -55 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 ve 1 sayılarını toplayarak -54 sonucunu bulun.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x sayısını x+3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 sayısını x^{2}+3x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Her iki taraftan 9x sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

6x ve -9x terimlerini birleştirerek -3x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Her iki tarafa 54 ekleyin.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

18 ve 54 sayılarını toplayarak 72 sonucunu bulun.

$$7x^{2}-3x=72$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{7} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{14} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{14} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

-\frac{3}{14} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{72}{7} ile \frac{9}{196} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktör x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{14} ekleyin.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$