(3x+1)^2=9 Denklemini Çözme

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

x için çözün

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(3x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

1 sayısından 9 sayısını çıkarıp -8 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx-8 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -72 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Çözüm, 6 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=12$$

9x^{2}+6x-8 ifadesini \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-2=0 ve 3x+4=0 çözün.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(3x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

1 sayısından 9 sayısını çıkarıp -8 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 6 ve c yerine -8 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

6 sayısının karesi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

288 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±18}{18} denklemini çözün. 18 ile -6 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±18}{18} denklemini çözün. 18 sayısını -6 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-24}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(3x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

9 sayısından 1 sayısını çıkarıp 8 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+6x=8$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{8}{9} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Faktör x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{3} çıkarın.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$