(2x+1)^2-3=13 Denklemini Çözme

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } - 3 = 13$$

x için çözün

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Her iki taraftan 13 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x-2-13=0$$

-2 sayısından 13 sayısını çıkarıp -15 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Çözüm, 4 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=10$$

4x^{2}+4x-15 ifadesini \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-3=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Her iki taraftan 13 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x-2-13=0$$

-2 sayısından 13 sayısını çıkarıp -15 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 4 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

240 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±16}{8} denklemini çözün. 16 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±16}{8} denklemini çözün. 16 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-20}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Her iki tarafa 2 ekleyin.

$$4x^{2}+4x=13+2$$

13 ve 2 sayılarını toplayarak 15 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x=15$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{15}{4} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Faktör x^{2}+x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$